Categoria: Fisica teorica

Richiesta (operativa):
In un mezzo abilitato (ad esempio, un gap QCT che agisce come campo vicino abilitato χ), a debole non linearità localizzata or post-selezione esplicita può produrre a capacità classica piccola ma finita C>0 tra parti separate dallo spazio senza violare l'unitarietà globale o la regola di Born.

Impostare
lasciare ρAB essere uno stato bipartito condiviso da Alice e Bob. Nella meccanica quantistica standard con stato locale Mappe CPTP e no dopo la selezione, lo stato ridotto di Bob è indipendente dalla scelta di Alice:

ρB′​=TrA​[(ΦA​⊗IB​)(ρAB​)]=ρB​, (nessuna segnalazione)

In un abilitato Regione QCT, modello dell'operazione controllata di Alice come un debolmente non lineare perturbazione di un Mappa CPTP:

Lo stato di Bob diventa

con

ΔρB(V)=TrA ⁣[(NA(V)⊗IB)ρAB].\Delta\rho_B(V)=\mathrm{Tr}_A\!\Big[\big(\mathcal{N}_A^{(V)}\otimes \mathbb{I}_B\big)\rho_{AB}\Big].ΔρB​(V)=TrA​[(NA(V)​⊗IB​)ρAB​].

If \Delta\rho_B(V_0)\neq \Delta\rho_B(V_1), allora le statistiche dei risultati di Bob dipendono (leggermente) dalla scelta di Alice V, consentendo la comunicazione classica all'ordine \varepsilon.

Per un POVM \{Mio\} su Bob, le probabilità di rilevamento sono

Capacità con segnalazione debole

Lascia che Alice invii un simbolo binario X\in\{0,1\} Scegliendo V\in\{V_0,V_1\}.Bob misura Y\in\{0,1\}. Definire

con probabilità di errore di base p:=P(Y=1∣V0).

Per un canale con input binario e output binario nel limite di piccolo segnale ∣\delta|\ll 1, l' Capacità di Shannon ammette l'approssimazione quadratica

C \;\approx\; \frac{\delta^2}{2\ln 2}\,\frac{1}{p(1-p)} \;+\; O(\delta^4), \qquad C>0\ \text{se e solo se}\ \delta\neq 0.

Quindi qualsiasi diverso da zero \delta (quindi qualsiasi diverso da zero \varepsilon- dipendenza dall'ordine V) produce un finito C>0.

Ruolo della post-selezione

Se Bob (o un circuito di coincidenza congiunto) post-seleziona su una finestra di risultato W con probabilità di successo pW​, l' condizionale lo stato è

A causa della normalizzazione da parte \mathrm{Tr}[\Pi_W\rho_B'(V)], la mappatura \rho'_B \mapsto \rho_B^{\mid W} is non lineare, e le statistiche condizionate possono acquisire un V-dipendenza anche quando il incondizionato l'uguaglianza senza segnalazione è valida. In pratica, la post-selezione scala il tasso utile di pW:

Condizioni di coerenza

Per evitare patologie globali:

1. Localizzazione: \mathcal{N}_A^{(V)} è limitato al χ-regione abilitata (ad esempio, il gap QCT).
2. Piccolezza: \varepsilon è sufficientemente piccolo da preservare la stabilità e i limiti energetici.
3. Unitarietà globale e regola di Born: La dinamica dell'insieme rimane CPTP; eventuali deviazioni sono limitate alle mappe del rivelatore locale condizionato (post-selezione) o al settore debole-non lineare all'interno del mezzo.

Dichiarazione compatta

Ecco una ripartizione e una verifica dei fatti della compatta affermazione matematica:

L'enunciato matematico è la rappresentazione di un risultato nella teoria dell'informazione quantistica, correlato al calcolo della capacità di un canale quantistico con una piccola perturbazione. Collega la descrizione fisica di un canale quantistico alla capacità del canale risultante, incorporando concetti come la perturbazione di stato, la distinguibilità degli stati di uscita e l'effetto della post-selezione. Analizziamo ogni parte per verificarne i componenti:

Perturbazione del canale e dello stato

\Phi_A(V) = \Lambda_A + \epsilon N_A(V), \epsilon \ll 1: Questo descrive un canale quantistico \Phi_A agendo su un sistema A. Esso è costituito da una parte dominante e costante \Lambda_A e una piccola perturbazione \epsilon N_A(V)Durante la serata, \epsilon è un parametro piccolo e V è un parametro controllabile del canale. Questo è un modo standard per rappresentare un canale quantistico leggermente modulato o rumoroso. \rho_B'(V) = \rho_B(0) + \epsilon \Delta\rho_B(V): Questo mostra l'effetto del canale su una parte di uno stato quantistico più ampio. Indica che lo stato di uscita di un sottosistema B, \rho_B'(V), è una versione leggermente perturbata di uno stato iniziale \rho_B(0)La perturbazione \Delta\rho_B(V) è proporzionale al parametro piccolo \epsilon. \Delta\rho_B(V) = Tr_A[(N_A(V) \otimes I)\rho_{AB}]: Questa è la forma esplicita della perturbazione del primo ordine allo stato del sistema B. Si ricava prendendo la traccia parziale (Tr_A) sul sistema A dell'azione della parte perturbativa del canale su uno stato più grande e aggrovigliato \rho_{AB}Questa è un'applicazione standard e corretta delle regole della meccanica quantistica.

Distinguibilità degli stati

\esiste M: \delta = \epsilon Tr[M\Delta\rho_B(V_1)] - \epsilon Tr[M\Delta\rho_B(V_0)] \neq 0: Questo è il passaggio cruciale per stabilire una capacità del canale diversa da zero. Afferma che esiste un operatore di misura (un operatore hermitiano) M in grado di distinguere tra gli stati perturbati corrispondenti a due diverse impostazioni del parametro del canale, V_1 e V_0La quantità \delta rappresenta la differenza nel valore atteso della misura M per i due stati di uscita. Il fatto che \delta \neq 0 è la condizione affinché i due stati siano sperimentalmente distinguibili, almeno in linea di principio.

Capacità del canale

C \approx \frac{\delta^2}{2\ln{2}p(1-p)} > 0: Questo è un risultato chiave, probabilmente un'approssimazione per la capacità di Holevo o una misura correlata della capacità del canale nel limite di piccole \deltaLa capacità C è una misura della velocità massima alla quale le informazioni possono essere inviate in modo affidabile attraverso il canale. Il termine \delta^2 è previsto, poiché la capacità spesso scala con il quadrato della distinguibilità degli stati di uscita per piccole perturbazioni. Il fattore di 2\ln{2} è lo standard per la conversione da unità naturali di informazione (nat) a bit. Il termine p(1-p) nel denominatore suggerisce che la capacità viene valutata per uno specifico insieme di input, dove i due stati (corrispondenti a V_0 e V_1) vengono utilizzati con probabilità p e 1-p. La capacità è massimizzata quando p=1/2, che è un presupposto comune.

Capacità effettiva con post-selezione

C_{eff} \approx p_W C (con post-selezione): questa parte dell'affermazione descrive la capacità effettiva quando si utilizza la post-selezione. La post-selezione è una tecnica in cui viene considerato solo un sottoinsieme dei risultati della misurazione, il che a volte può amplificare un segnale debole. p_W sarebbe la probabilità di una post-selezione di successo (la "probabilità di post-selezione"). La capacità effettiva C_{eff} è ridotto di questa probabilità perché molti degli stati iniziali vengono scartati. Questo è un compromesso ben noto negli schemi di post-selezione: si potrebbe ottenere un segnale più chiaro, ma si perde una porzione significativa dei dati, riducendo così la velocità complessiva di trasmissione delle informazioni.

Verifica dei fatti sull'intelligenza artificiale: conclusione
Le espressioni matematiche sono coerenti con i principi consolidati della teoria dell'informazione quantistica. La logica scorre correttamente dalla definizione di un canale quantistico perturbato alla distinguibilità dei suoi stati di uscita e, infine, a un'espressione per la capacità del canale. Anche l'inclusione dell'effetto della post-selezione è standard. Pertanto, la matematica nell'enunciato compatto sembra essere corretta e rappresenta una valida linea di ragionamento nel contesto della capacità del canale quantistico.

P(i) = |\langle i | \psi \rangle|^2, \quad \sum_i P(i) = 1.

Nella meccanica quantistica standard, questa regola è strettamente lineare e globalmente conservata: la probabilità totale tra tutti i possibili esiti è uguale a uno e nessuna operazione (locale o remota) può alterare tale normalizzazione. Nel framework della Segnalazione Foliata Causale (CFS), tuttavia, distinguiamo tra conservazione globale e deviazioni locali.

Conservazione globale: La probabilità totale, integrata su tutte le sezioni di foliazione, rimane normalizzata:

\int_{\Sigma_t} \sum_i P(i,t),d^3x = 1,

per ogni intervallo di tempo globale \Sigma_t definito dal vettore di foliazione u^a.

Deviazioni locali: All'interno di un mezzo abilitato (come il gap di tunneling QCT), le statistiche del rivelatore locale possono mostrare piccoli spostamenti non lineari nei pesi di probabilità, mentre la media dell'insieme globale obbedisce ancora alla regola di Born.

1. Modello di risposta non lineare locale
Sia la probabilità di Born non perturbata P_0(i) = \operatorname{Tr}(\rho,\Pi_i), where \ rho è la matrice densità e \Pi_i = |i\rangle\langle i| sono proiettori. In un mezzo abilitato con debole accoppiamento non lineare \varepsilon, la risposta effettiva del rilevatore locale è:

P_{\text{loc}}(i) = \frac{\operatorname{Tr}(\rho,\Pi_i) + \varepsilon,f_i(\rho,\chi)}{\sum_j [\operatorname{Tr}(\rho,\Pi_j) + \varepsilon,f_j(\rho,\chi)]}, \qquad 0<\varepsilon\ll 1.[/latex] Qui [latex]f_i(\rho,\chi) è un piccolo termine di correzione indotto dal campo del segnale \ chi o l'accoppiamento evanescente del QCT, e il denominatore rinormalizza la probabilità totale di preservare \sum_i P_{\text{loc}}(i) = 1.

2. Esempio: misurazione a due risultati (rilevatore binario)
Si consideri un osservabile con due risultati (ad esempio, "aumento di corrente" vs. "nessun aumento") misurato sul lato di Bob di un dispositivo QCT. Senza alcun accoppiamento non lineare, P_0(1) = \operatorname{Tr}(\rho,\Pi_1) = p, \quad P_0(0)=1-p. Con accoppiamento non lineare debole e correzione dipendente dalla fase f_1 = \alpha,\sin\phi, f_0=-f_1, la probabilità locale diventa

P_{\text{loc}}(1) = \frac{p + \varepsilon,\alpha,\sin\phi}{1 + \varepsilon,\alpha,(2p-1)\sin\phi}, \quad P_{\text{loc}}(0)=1-P_{\text{loc}}(1).

Espansione al primo ordine in \varepsilon:
P_{\text{loc}}(1) \approx p + \varepsilon,\alpha,\sin\phi,[1 - p(2p-1)].

La probabilità di misurazione locale oscilla leggermente con la fase di accoppiamento \fi (ad esempio, modulazione di polarizzazione o risonanza tunneling nel QCT). Nel corso di molte esecuzioni o quando integrate globalmente, queste deviazioni si compensano, ripristinando l'aspettativa di Born \langle P_{\text{loc}}(1)\rangle = p.

3. Restauro d'insieme (globale)
Definisci la media dell'insieme sulle sezioni di foliazione:

\langle P(i) \rangle = \int_{\Sigma_t} P_{\text{loc}}(i, x, t),d^3x.

Se le correzioni f_i integrare a zero,

\int_{\Sigma_t} f_i(\rho,\chi),d^3x = 0,

allora la regola globale di Born rimane esatta:

\sum_i \langle P(i) \rangle = 1.

Pertanto, le deviazioni locali apparenti sono increspature statistiche, non violazioni, simili alle fluttuazioni correlate alla fase in un sistema ottico non lineare.

4. Significato fisico nella QCT
In un esperimento QCT, la deviazione locale \varepsilon f_i(\rho,\chi) potrebbe manifestarsi come rumore correlato al bias o conteggi eccessivi nei rivelatori su scala femtosecondi. Tuttavia, a livello globale (su integrazioni più lunghe), la normalizzazione è valida: non viene creata o persa energia o probabilità. Pertanto, la regola di Born rimane globalmente preservata, mentre i rivelatori locali possono mostrare piccole deviazioni riproducibili e dipendenti dalla fase nelle frequenze di conteggio.

Equazioni riassuntive:
Normalizzazione globale (regola di Born):

\sum_i P(i) = 1.

Risposta locale con piccola deviazione non lineare o dipendente da χ:

P_{\text{loc}}(i) = P_0(i) + \varepsilon,\Delta P(i,\chi), \quad \sum_i \Delta P(i,\chi) = 0.

L'insieme globale soddisfa ancora:

Riepilogo dell'interpretazione: I rivelatori locali in una regione QCT abilitata possono mostrare piccoli spostamenti di probabilità correlati al bias, ma le medie globali dell'insieme preservano esattamente la probabilità totale, in linea con la regola di Born. Questa distinzione consente deviazioni deboli e verificabili che potrebbero fungere da impronte digitali empiriche di dinamiche non lineari o post-selezionate, senza violare i postulati quantistici fondamentali.

In un mezzo abilitato come il transistor ad accoppiamento quantistico (QCT), le interazioni di campo possono scambiare informazioni di fase attraverso una barriera di tunneling più velocemente della propagazione classica. Tuttavia, questo scambio è limitato da una quantità scalare conservata chiamata bilancio del segnale, denotato da Q_{\testo{sig}}Misura il flusso totale del campo coerente, ovvero la massima “carica informativa” che può essere scambiata senza violare le leggi di conservazione globali.

Definire la densità del flusso del segnale locale j_{\testo{sig}}^a associato allo scambio di campo coerente di fase (analogo a una corrente di probabilità o di energia). La quantità totale conservata è Q_{\text{sig}} = \int_{\Sigma_t} j_{\text{sig}}^a,u_a,d^3x, where \Sigma_t è un'ipersuperficie di tempo globale costante (la fetta di foliazione), u_a è l'unità locale normale a quella fetta (lo stesso campo vettoriale di foliazione che definisce il frame preferito), e j_{\testo{sig}}^a obbedisce a un'equazione di continuità \nabla_a j_{\text{sig}}^a = 0. Ciò implica \frac{d Q_{\text{sig}}}{dt} = 0, so Q_{\testo{sig}} è conservato in tutte le interazioni locali all'interno della regione abilitata.

Fisicamente, Q_{\testo{sig}} Quantifica l'energia di correlazione coerente totale o la capacità di fase immagazzinata nel campo di accoppiamento evanescente tra i nodi (Alice e Bob). Non è identica alla carica elettrica o al numero di fotoni; piuttosto, misura il grado integrato di coerenza reciproca disponibile per la modulazione. Qualsiasi processo di comunicazione può solo ridistribuire questa quantità, mai aumentarla.

La capacità di comunicazione classica (Shannon) C ottenibile tramite un canale basato su QCT è limitato da una funzione monotona del budget del segnale: C \le f(Q_{\text{sig}}), where f(\cpunto) dipende dalla geometria del dispositivo, dal tasso di decoerenza e dal rumore termico. Per regimi di risposta lineare a piccolo segnale, f(Q_{\text{sig}}) \approx \frac{1}{2N_0},Q_{\text{sig}}^2, where N_0 è la densità spettrale del rumore effettiva della giunzione tunneling, che fornisce C_{\max} \propto Q_{\text{sig}}^2. Pertanto, un flusso coerente maggiore produce una maggiore capacità potenziale, ma solo fino al punto in cui la decoerenza interrompe la continuità di fase. Consideriamo due nodi QCT (Alice e Bob) collegati solo da un campo di tunneling evanescente. Sia \Phi_1(t) e \Phi_2(t) siano i loro potenziali di fase istantanei. Definire la corrente del segnale coerente attraverso il gap di accoppiamento come

where \kappa è una costante di accoppiamento proporzionale al coefficiente di tunneling della barriera. Il bilancio del segnale integrato su un intervallo di coerenza T_c is

Ciò rappresenta lo scambio correlato alla fase totale tra Alice e Bob all'interno della finestra di coerenza e rimane costante se entrambi i nodi evolvono sotto dinamiche unitarie o debolmente dissipative. Lascia I_{\text{sig}}(t) = j_{\text{sig}}(t),A essere la corrente del segnale misurabile attraverso l'area effettiva A.

Il rapporto segnale/rumore istantaneo è \text{SNR}(t) = \frac{I_{\text{sig}}^2(t)}{N_0,B}, where B è la larghezza di banda. L'integrazione sulla finestra di coerenza fornisce il limite di capacità totale

C \le \frac{1}{2B\ln 2}\int_0^{T_c}\frac{I_{\text{sig}}^2(t)}{N_0},dt = \frac{A^2}{2B\ln 2,N_0}\int_0^{T_c} j_{\text{sig}}^2(t),dt.

Per il teorema di Parseval, questo integrale è proporzionale a Q_{\testo{sig}}^2, dando C \le k_B,Q_{\text{sig}}^2, where k_B è una costante di proporzionalità empirica dipendente dalla geometria e dalla temperatura. Per un esempio numerico, supponiamo che una coppia QCT operi con accoppiamento a barriera \kappa = 10^{-3}, ampiezza di coerenza |\Phi_1| = |\Phi_2| = 1, e tempo di coerenza T_c = 10^{-12},\testo{s}.

Poi Q_{\text{sig}} = \kappa \int_0^{T_c} \sin(\Delta\phi),dt \about \kappa,T_c,\sin\langle\Delta\phi\rangle.

Per ritardo di fase medio \langle\Delta\phi\rangle = \pi/4, Q_{\text{sig}} \approx 7.1\times10^{-16},\text{s}.

Con N_0 = 10^{-20},\testo{J/Hz} e B = 10^{12},\testo{Hz}, il limite di capacità diventa C_{\max} \approx \frac{1}{2B\ln 2}\frac{Q_{\text{sig}}^2}{N_0} \approx 3\times10^2,\text{bit/s}.

Pertanto, anche un impulso di coerenza su scala femtosecondi potrebbe, in linea di principio, trasmettere informazioni strutturate misurabili entro i limiti di conservazione fisica.

Se due regioni di accoppiamento esistono in parallelo, i loro budget di segnale totali si sommano linearmente: Q_{\text{sig,tot}} = Q_{\text{sig}}^{(1)} + Q_{\text{sig}}^{(2)}, ma le capacità corrispondenti si sommano in modo sublineare a causa dell'interferenza: C_{\text{tot}} \le f(Q_{\text{sig,tot}}) < f(Q_{\text{sig}}^{(1)}) + f(Q_{\text{sig}}^{(2)}).[/latex] Ciò esprime la capacità finita della coerenza: la coerenza può essere condivisa ma non amplificata liberamente. In sintesi, [latex]Q_{\text{sig}} è uno scalare conservato che rappresenta il flusso totale del campo coerente attraverso il mezzo abilitato. Definisce il budget di comunicazione massimo del sistema, C \le f(Q_{\text{sig}}), garantire che qualsiasi aumento della capacità misurabile attinga alla disponibilità Q_{\testo{sig}}Il principio garantisce causalità e coerenza termodinamica anche per l'accoppiamento di fase superluminale: lo scambio di informazioni rimane limitato da una quantità di segnale conservata.

Nei sistemi quantistici non lineari o post-selezionati, un feedback illimitato tra stato e misura può facilmente portare a paradossi: segnalazione superluminale, violazione della regola di Born o persino incongruenze logiche come cicli causali chiusi. Per rimanere fisicamente coerente, qualsiasi deviazione dall'evoluzione quantistica lineare deve essere rigorosamente confinato - localizzato all'interno di una regione finita e limitata energeticamente dello spaziotempo, e accoppiato all'ambiente esterno solo attraverso canali che preservano l'unitarietà globale. Il transistor ad accoppiamento quantistico (QCT) fornisce tale confine naturale. Il termine non lineare emerge solo all'interno mezzo abilitato - il gap di tunneling o dominio di campo χ - dove l'accoppiamento di fase evanescente e la resistenza differenziale negativa (NDR) consentono un'autointerazione debole. Al di fuori di questa zona, la meccanica quantistica lineare standard vale esattamente.

Formalmente, lasciamo che l'operatore di evoluzione del sistema completo sia scritto come \mathcal{U}(t) = \mathcal{T}\exp!\left[-\frac{i}{\hbar}!\int (H_0 + \varepsilon,H_{\text{NL}}),dt\right], where H_0 è l'hamiltoniano hermitiano standard, H_{\testo{NL}} è un contributo non lineare limitato, e \varepsilon \ll 1 è un parametro di attivazione che svanisce al di fuori della regione QCT. La condizione di confinamento è \operatorname{supp}(H_{\text{NL}}) \subseteq \Omega_{\text{QCT}}, il che significa che l'interazione non lineare è spazialmente limitata al mezzo abilitato \Omega_{\text{QCT}}L'unitarietà globale è preservata se il commutatore [H_{\testo{NL}},H_0] ha un supporto compatto e una densità di energia non lineare

soddisfa

where \delta E_{\testo{esimo}} è la scala di fluttuazione termica locale. Ciò garantisce che il feedback non lineare non possa autoamplificarsi oltre i limiti fisici del rumore.

Operativamente, il confinamento implica che la mappa \Phi: \rho \mapsto \rho' è debolmente non lineare solo all'interno del sottospazio abilitato χ

mentre rimane completamente positivo e conservante la traccia (CPTP) sul complemento. Matematicamente,

con \mathcal{N} che rappresenta la correzione non lineare confinata. Poiché \varepsilon \freccia destra 0 Al confine QCT, nessuna non linearità si propaga oltre il gap. Questo previene incoerenze globali e rafforza la chiusura causale: gli effetti di fase superluminale possono esistere all'interno della foliazione locale, ma non possono formare circuiti di segnalazione chiusi o propagarsi arbitrariamente.

Dal punto di vista termodinamico, il confinamento della non linearità garantisce l'impossibilità di estrarre energia dal vuoto. La regione NDR attiva agisce come un elemento di feedback controllato in grado di amplificare i campi evanescenti, ma sempre entro i limiti del vincolo. P_{\text{out}} \le P_{\text{in}} + \Delta E_{\text{stored}}Qualsiasi guadagno transitorio viene compensato dall'accumulo di campo locale, mantenendo il bilancio energetico complessivo. Pertanto, il sistema si comporta come un risonatore non lineare racchiuso in un confine conservativo.

Nel contesto del Causal Foliated Signaling (CFS), questo confinamento spaziale ed energetico garantisce stabilità: le dinamiche non lineari modificano le statistiche locali senza alterare l'unitarietà globale. Il QCT diventa un isola non lineare limitata dall'energia immerso in un continuum quantistico lineare.

Patologie come l'amplificazione incontrollata, il superdeterminismo o il feedback acausale vengono automaticamente escluse perché il dominio non lineare è finito, dissipativamente accoppiato e globalmente rinormalizzato. In sostanza, la QCT funge da sandbox in cui può esistere una non linearità limitata, testabile ma al contempo protetta in modo sicuro dalle regole della termodinamica quantistica.

Ogni dispositivo quantistico attivo è in ultima analisi vincolato dalla coerenza termodinamica. Anche quando il transistor ad accoppiamento quantistico (QCT) opera in un regime non lineare o a resistenza differenziale negativa (NDR), il suo guadagno totale non può superare il limite imposto dalla sua temperatura di rumore effettiva e dal budget di segnale disponibile. Legato al calore esprime questo limite: l'amplificazione e il trasferimento di coerenza nel mezzo abilitato devono obbedire al principio di fluttuazione-dissipazione, assicurando che nessuna configurazione del dispositivo possa estrarre energia libera netta o violare la Seconda Legge.

All'equilibrio, la densità di potenza spettrale delle fluttuazioni attraverso il gap di tunneling è S_V(f) = 4k_B T_{\text{eff}} R_{\text{eq}}(f), where T_{\testo{eff}} è la temperatura effettiva della giunzione accoppiata e R_{\testo{eq}}(f) è la resistenza dinamica, che può diventare negativa sotto polarizzazione NDR. Quando il QCT fornisce un guadagno di piccolo segnale Sol(f), il teorema di fluttuazione-dissipazione richiede che il prodotto del guadagno e della temperatura del rumore rimanga limitato: G(f) T_{\text{eff}} \ge T_0, where T_0 è la temperatura fisica dell'ambiente. Ciò garantisce che qualsiasi amplificazione locale introduca necessariamente rumore di compensazione, mantenendo il bilancio dell'entropia non negativo.

L'analogo quantistico di questo vincolo deriva dalle relazioni di commutazione degli operatori di campo. Per qualsiasi amplificatore che agisce sui modi bosonici \che cosa c'è dentro e \che_{\mathrm{fuori}}, la commutazione canonica deve essere preservata, cioè
[,\hat a_{\mathrm{out}},,\hat a_{\mathrm{out}}^{\dagger},]=1.

Un modello di input-output standard insensibile alla fase è
\hat a_{\mathrm{out}}=\sqrt{G},\hat a_{\mathrm{in}}+\sqrt{G-1},\hat b_{\mathrm{in}}^{\dagger},\qquad [,\hat b_{\mathrm{in}},\hat b_{\mathrm{in}}^{\dagger},]=1,
il che implica un rumore aggiunto minimo.

Nel QCT, questo rumore corrisponde alla componente stocastica della corrente di tunneling indotta dalle fluttuazioni termiche e quantistiche del campo evanescente. Il compromesso effettivo guadagno-rumore può essere scritto come G_{\text{QCT}} = 1 + \frac{P_{\text{out}} - P_{\text{in}}}{k_B T_{\text{eff}} B}, soggetto a P_{\text{out}} \le P_{\text{in}} + k_B T_{\text{eff}} B, where B è la larghezza di banda. Questa disuguaglianza esprime il limite termodinamico dell'amplificazione coerente.

In pratica, aumentando la polarizzazione attraverso la barriera h-BN, la regione NDR consente la reiniezione di energia nella modalità evanescente, amplificando efficacemente il campo vicino. Tuttavia, questo guadagno è autolimitante: una volta che la temperatura del rumore locale sale a T_{\text{eff}} = T_0 + \Delta T_{\text{NDR}}, Il sistema raggiunge uno stato termico stazionario. Un ulteriore aumento della polarizzazione dissipa ulteriore energia sotto forma di calore anziché aumentare la coerenza. Pertanto, il rumore di fondo termico agisce come un freno naturale, stabilizzando il sistema contro l'amplificazione incontrollata.

Il limite termico può quindi essere riassunto come una legge di conservazione che collega l'acquisizione di informazioni, l'input energetico e la produzione di entropia: \Delta I \le \frac{\Delta E}{k_B T_{\text{eff}} \ln 2}. Questa disuguaglianza definisce l'efficienza finale di qualsiasi canale di comunicazione basato su QCT o esperimento di segnalazione causale-foliata: il tasso di informazione raggiungibile per unità di spesa energetica non può superare il costo entropico del mantenimento della coerenza.

Da una prospettiva più ampia, il limite termico è la controparte termica del vincolo di bilancio del segnale. Mentre Q_{\testo{sig}} limita il flusso coerente totale, T_{\testo{eff}} limita l'amplificazione utilizzabile all'interno di quel flusso. Insieme, definiscono la finestra operativa del QCT come un sistema quantistico risonante ma termodinamicamente chiuso. Nessuna energia viene creata o persa oltre lo scambio consentito con l'ambiente e la variazione complessiva di entropia rimane non negativa: \frac{dS_{\text{tot}}}{dt} = \frac{P_{\text{in}} - P_{\text{out}}}{T_0} \ge 0.

In sostanza, il Thermo Bound garantisce che il QCT funzioni come un amplificatore quantistico termodinamicamente conforme - capace di guadagno coerente di fase e accoppiamento superluminale all'interno della sua regione abilitata, ma sempre vincolato dal sottostante equilibrio energia-entropia che preserva la causalità globale e la legge fisica.

In regioni abilitate come la barriera di tunneling QCT, assumiamo la presenza di una debole non linearità dipendente dallo stato nella mappa di misurazione o amplificazione. Questa mappa, indicata con N_{\chi}, opera sulla matrice di densità locale \ rho del sottosistema accoppiato al campo del segnale \ chi. Conserva la probabilità totale (conservazione della traccia) ma introduce una non linearità controllata sufficiente a produrre una capacità classica finita, seppur minima.

1. Definizione
N_{\chi}(\rho) = \frac{A_{\chi} \rho A_{\chi}^{\dagger}}{\mathrm{Tr}(A_{\chi} \rho A_{\chi}^{\dagger})},
where A_{\chi} = I + \epsilon, F(\rho, \chi) è un operatore non lineare che dipende debolmente dal campo del segnale \ chi e sullo stato attuale del sistema \ rhoIl piccolo parametro \epsilon \ll 1 controlla il grado di non linearità.

La normalizzazione nel denominatore impone \mathrm{Tr}[N_{\chi}(\rho)] = 1, garantendo che la mappa conservi le tracce e sia fisicamente coerente.

2. Limite lineare

Quando \epsilon = 0, il modello si riduce alla misurazione quantistica standard:
N_{\chi}(\rho) \to \rho' = \frac{M \rho M^{\dagger}}{\mathrm{Tr}(M \rho M^{\dagger})},
where M è l'operatore di misura (elemento POVM).
Pertanto, il modello non lineare è un'estensione minima della meccanica quantistica standard.

3. Dinamiche efficaci

Per una debole non linearità, la mappa induce un'equazione di evoluzione efficace:

where

rappresenta un accoppiamento funzionale non lineare tra lo stato del sistema e il campo del segnale.

Questo termine può essere modellato fenomenologicamente come:
\mathcal{L}_{\chi}[\rho] = f(\chi),(\rho^2 - \rho,\mathrm{Tr}[\rho^2]),
introducendo un guadagno o un'attenuazione dipendente dallo stato che svanisce per gli stati puri (\rho^2 = \rho).

4. Capacità informativa

Il risultato chiave è che il rilevamento post-selezionato o non lineare può produrre una capacità classica piccola ma finita C_{\mathrm{eff}} attraverso quello che altrimenti sarebbe un canale di solo entanglement (senza segnalazione):

C_{\mathrm{eff}} \approx p_{W}, C,
where p_{W} è la probabilità di successo della finestra di post-selezione non lineare, e C è la capacità di un canale di segnalazione idealizzato.

Ciò corrisponde a una deviazione minima ma misurabile dal comportamento di rigorosa non comunicazione nei media abilitati:

5. Esempio fisico: accoppiamento di barriera QCT

In un transistor ad accoppiamento quantistico, i due strati di grafene agiscono come rilevatori localmente coerenti collegati tramite una barriera quantistica.
Il campo del segnale effettivo \chi(t) rappresenta il potenziale di fase evanescente attraverso la regione di tunneling h-BN.
La non linearità entra attraverso la trasparenza della barriera dipendente dalla tensione:
T_{\chi}(V) = T_{0} \exp[-\alpha (1 - \beta V + \epsilon, \Phi_{\chi}(\rho))],
where \Phi_{\chi}(\rho) è un termine di feedback debole che accoppia la coerenza della funzione d'onda locale allo stato del campo.
Tale feedback modifica la probabilità di tunneling in modo non locale ma conserva l'unitarietà globale.

6. Conservazione e stabilità

Per impedire un'amplificazione incontrollata, il termine non lineare soddisfa un vincolo di conservazione:
\mathrm{Tr}[\rho,\mathcal{L}_{\chi}[\rho]] = 0,
assicurando che la probabilità totale e l'energia rimangano costanti al primo ordine in \epsilon.
Ciò mantiene la dinamica autoconsistente e limitata, evitando paradossi superluminali e consentendo al contempo un trasferimento di segnali coerente e sub-osservabile.

7. Interpretazione

Il risultato è a regola quantistica minimamente modificata:
la risposta del rilevatore è leggermente non lineare e dipendente dallo stato, creando una piccola deviazione dal teorema di non comunicazione rigoroso, pur mantenendo la normalizzazione della regola di Born a livello globale.
Nelle regioni abilitate (ad esempio, campi barriera h-BN, circuiti di coincidenza post-selezionati), l'interazione si comporta come se le informazioni di fase potessero attraversare il vuoto quantistico, trasportando un segnale classico minuscolo e finito attraverso una separazione simile allo spazio, senza interrompere l'unitarietà o la causalità globale.